Sistemas de Equações

🔍 Introdução aos Sistemas de Equações

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A percentagem mostra respostas certas no total de exercícios existentes.

📖O que é um sistema de equações?

Um sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas é um conjunto de duas equações que têm em comum duas variáveis (incógnitas), normalmente designadas por x e y.

Exemplo de sistema:

{

2x + y = 5x − y = 1

Resolver um sistema é encontrar o par ordenado (x, y) que verifica simultaneamente ambas as equações.

💡 Um par ordenado é uma solução do sistema se verificar as duas equações ao mesmo tempo.

🔗Ligação à Função Afim

Cada equação do 1.º grau com duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano. Resolver um sistema graficamente equivale a encontrar o ponto de interseção das duas retas.

❓Verifica se sabes – Questão inicial

Qual das afirmações é verdadeira sobre um sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas?

✏️ Equações do 1.º grau com duas incógnitas

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📖Definição

Uma equação do 1.º grau com duas incógnitas é da forma:

ax + by = c

onde a, b e c são números reais com a ≠ 0 ou b ≠ 0.

Exemplos:
· 3x + 2y = 7
· x − 4y = −1
· 2x + y = 0

🔑Solução de uma equação

Um par ordenado (x, y) é solução de uma equação do 1.º grau com duas incógnitas se, ao substituir os valores de x e y, a igualdade for verdadeira.

Exemplo: Verifica se (1, 2) é solução de 3x + y = 5.

Substituir: 3 × 1 + 2 = 3 + 2 = 5 ✓

A igualdade é verdadeira → (1, 2) é solução.

⚠️ Uma equação do 1.º grau com duas incógnitas tem infinitas soluções – todas elas formam uma reta.

📊Tabela de soluções

Para a equação x + y = 4, podemos construir uma tabela:

x	0	1	2	4
y	4	3	2	0

❓Verifica se sabes

📋 Sistemas na forma canónica

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📖Forma canónica de um sistema

Um sistema diz-se escrito na forma canónica quando as incógnitas estão ordenadas e os termos independentes estão no segundo membro:

{

a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂

💡 Na forma canónica, todas as incógnitas estão no primeiro membro e os termos independentes no segundo membro.

🔄Transformar para forma canónica

Exemplo: Escreve o sistema na forma canónica.

{

y = 3 − 2x3x = y + 1

Eq. 1: y = 3 − 2x ⟺ 2x + y = 3

Eq. 2: 3x = y + 1 ⟺ 3x − y = 1

Forma canónica:

{

2x + y = 33x − y = 1

❓Verifica se sabes

✅ Verificar soluções de um sistema

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📖Como verificar

Para verificar se um par ordenado (x, y) é solução de um sistema, substitui os valores nas duas equações e verifica se as igualdades são ambas verdadeiras.

Exemplo: Verifica se (2, 0) é solução de:

{

−x + 2y = −2x + y = 2

Eq. 1: −2 + 2 × 0 = −2 + 0 = −2 ✓

Eq. 2: 2 + 0 = 2 ✓

✅ (2, 0) é solução do sistema. C.S. = {(2, 0)}

🎛️Verificador interativo

Escolhe um sistema e um par ordenado para verificar:

Sistema:

−x + 2y = −2x + y = 2

x =

y =

❓Verifica se sabes

📈 Método gráfico

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📖Como resolver graficamente

Resolver um sistema pelo método gráfico consiste em representar, num mesmo referencial cartesiano, as retas definidas por cada equação e identificar o ponto de interseção.

Passos:

1.º passo: Sempre que possível, escrever cada equação na forma y = mx + b (as retas verticais escrevem-se x = a)

2.º passo: Traçar as duas retas no referencial

3.º passo: Identificar o ponto de interseção

4.º passo: Escrever o conjunto-solução

📊Exemplo resolvido

Resolve graficamente:

{

−x + 2y = −2x + y = 2

Eq. 1: −x + 2y = −2 ⟺ 2y = x − 2 ⟺ y = x − 22 = x2 − 1

Eq. 2: x + y = 2 ⟺ y = −x + 2

Ponto de interseção: (2, 0) → C.S. = {(2, 0)}

❓Verifica se sabes

🔄 Método de substituição

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📖Os 5 passos

1.º passo: Resolver uma das equações em ordem a uma das incógnitas.

2.º passo: Substituir a expressão obtida na outra equação.

3.º passo: Resolver a nova equação (com apenas uma incógnita).

4.º passo: Substituir o valor encontrado na expressão isolada.

5.º passo: Apresentar o conjunto-solução.

📝Exemplo resolvido passo a passo

Resolve pelo método de substituição:

{

−x + 2y = −2x + y = 2

Passo 1 – isolar y na equação 2:
x + y = 2 ⟺ y = 2 − x

Passo 2 – substituir na equação 1:
−x + 2(2 − x) = −2

Passo 3 – resolver:
−x + 4 − 2x = −2
−3x = −2 − 4
−3x = −6
x = −6−3 = 2

Passo 4 – calcular y:
y = 2 − x = 2 − 2 = 0

Conjunto-solução: C.S. = {(2, 0)}

⚠️Erros frequentes

❌ Substituir apenas a incógnita e não toda a expressão.

❌ Trocar o sinal ao transitar um termo para o outro membro.

❌ Calcular y mas esquecer de verificar na outra equação.

🎛️Simulador passo a passo

Escolhe um sistema e segue os passos automaticamente:

Escolhe o sistema:

🔀Ordena os passos

Arrasta os cartões para colocares os passos do método de substituição na ordem correta.

❓Verifica se sabes

✍️ Resolve e escreve a solução

Resolve o sistema pelo método de substituição. Introduz os valores de x e y. Podes pedir uma pista antes de verificar.

Sistema: x + y = 7x − y = 1

x y

Resolve no caderno antes de responder.

🏷️ Classificação de sistemas

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📖Três tipos de sistemas

✅ Possível determinado
Retas concorrentes
Uma única solução.
C.S. = {(x₀, y₀)}

❌ Impossível
Retas paralelas
Nenhuma solução.
C.S. = ∅

♾️ Possível indeterminado
Retas coincidentes
Infinitas soluções.
infinitas soluções

📊Interpretação gráfica

📝Síntese – Como classificar pelo método de substituição

Se obtiveres x = valor → Sistema possível determinado

Se obtiveres 0 = 0 (igualdade sempre verdadeira) → Sistema possível indeterminado

Se obtiveres 0 = k com k ≠ 0 (igualdade impossível) → Sistema impossível

❓Verifica se sabes

🧩 Problemas com sistemas

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📖Estratégia de resolução

1.º passo: Compreender o enunciado.

2.º passo: Definir as incógnitas (x e y).

3.º passo: Escrever um sistema de equações.

4.º passo: Resolver o sistema.

5.º passo: Verificar e apresentar a resposta.

💡Problema 1 – Bilhetes

Uma escola comprou 30 bilhetes para uma visita de estudo. Os bilhetes de adulto custam 8 € e os de criança custam 5 €. No total foram gastos 189 €. Quantos bilhetes de cada tipo foram comprados?

Incógnitas: x = n.º de bilhetes adulto · y = n.º de bilhetes criança

Sistema:

{

x + y = 308x + 5y = 189

Resolução:
Da eq. 1: y = 30 − x

Na eq. 2: 8x + 5(30 − x) = 189
8x + 150 − 5x = 189
3x = 39 · x = 13
y = 30 − 13 = 17

Resposta: Foram comprados 13 bilhetes de adulto e 17 de criança.

💡Problema 2 – Idades

A soma das idades de Ana e Rui é 28 anos. Ana tem mais 4 anos do que Rui. Quais são as suas idades?

Sistema:

{

a + r = 28a − r = 4

Resolução:
Da eq. 2: a = r + 4

Na eq. 1: (r + 4) + r = 28 → 2r = 24 → r = 12
a = 12 + 4 = 16

Resposta: Ana tem 16 anos e Rui tem 12 anos.

❓Verifica se sabes – Problema interativo

🎛️ Simuladores interativos

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🎛️Simulador gráfico – altera os coeficientes

a₁ (coef. x – eq.1)

b₁ (coef. y – eq.1)

c₁ (term. ind. – eq.1)

a₂ (coef. x – eq.2)

b₂ (coef. y – eq.2)

c₂ (term. ind. – eq.2)

O gráfico representa duas retas, uma azul e outra laranja. A classificação do sistema e as coordenadas são descritas em texto abaixo.

🔄Simulador de substituição

Seleciona um sistema e clica em "Próximo passo" para acompanhar a resolução:

🧠 Verifica se sabes – Quiz geral

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🧠Quiz completo – 10 questões

📝 Exercícios de treino ao estilo de prova

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📝Questão estilo IAVE – 1

Contexto: Numa papelaria, um caderno e duas canetas custam 4,50 €. Dois cadernos e uma caneta custam 6,00 €.

📝Questão estilo IAVE – 2

Contexto: Um ginásio cobra uma mensalidade fixa mais um valor por aula frequentada. Com 3 aulas pagou 25 € e com 7 aulas pagou 41 €.

📝Questão estilo IAVE – 3

Contexto: Considera o sistema:

{

kx + 2y = 43x + 6y = 12

📊 Resultados e progresso

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🏆O teu progresso

Questões registadas (1.ª tentativa)

Corretas na 1.ª tentativa

Certas / exercícios existentes

Pontos obtidos

A percentagem global corresponde às respostas certas nas primeiras tentativas divididas pelo número total de exercícios disponíveis, incluindo os que ainda faltam realizar. O resultado mostrado no final do quiz diz respeito apenas à tentativa atual. A atividade de resposta construída do módulo 6 entra nesta percentagem.

📈Desempenho por módulo

Revê as questões em que tiveste dúvidas e volta a justificar os passos de resolução.

Matemática – 8.º Ano · AEPEL