Sistemas de Equações – 8.º Ano

🔍 Introdução aos Sistemas de Equações

📖O que é um sistema de equações?

Um sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas é um conjunto de duas equações que têm em comum duas variáveis (incógnitas), normalmente designadas por x e y.

Exemplo de sistema:

2x + y = 5x − y = 1

Resolver um sistema é encontrar o par ordenado (x, y) que verifica simultaneamente ambas as equações.

💡 Um par ordenado é uma solução do sistema se verificar as duas equações ao mesmo tempo.

🔗Ligação à Função Afim

Cada equação do 1.º grau com duas incógnitas representa uma reta no plano cartesiano. Resolver um sistema graficamente equivale a encontrar o ponto de interseção das duas retas.

❓Verifica se sabes – Questão inicial

Qual das afirmações é verdadeira sobre um sistema de duas equações do 1.º grau com duas incógnitas?

✏️ Equações do 1.º grau com duas incógnitas

📖Definição

Uma equação do 1.º grau com duas incógnitas é da forma:

ax + by = c

onde a, b e c são números reais com a ≠ 0 ou b ≠ 0.

Exemplos:
· 3x + 2y = 7
· x − 4y = −1
· 2x + y = 0

🔑Solução de uma equação

Um par ordenado (x, y) é solução de uma equação do 1.º grau com duas incógnitas se, ao substituir os valores de x e y, a igualdade for verdadeira.

Exemplo: Verifica se (1, 2) é solução de 3x + y = 5.

Substituir: 3 × 1 + 2 = 3 + 2 = 5 ✓

A igualdade é verdadeira → (1, 2) é solução.

⚠️ Uma equação do 1.º grau com duas incógnitas tem infinitas soluções – todas elas formam uma reta.

📊Tabela de soluções

Para a equação x + y = 4, podemos construir uma tabela:

x	0	1	2	4
y	4	3	2	0

❓Verifica se sabes

📋 Sistemas na forma canónica

📖Forma canónica de um sistema

Um sistema diz-se escrito na forma canónica quando as incógnitas estão ordenadas e os termos independentes estão no segundo membro:

a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂

💡 Na forma canónica, todas as incógnitas estão no primeiro membro e os termos independentes no segundo membro.

🔄Transformar para forma canónica

Exemplo: Escreve o sistema na forma canónica.

y = 3 − 2x3x = y + 1

Eq. 1: y = 3 − 2x ⟺ 2x + y = 3

Eq. 2: 3x = y + 1 ⟺ 3x − y = 1

Forma canónica:

2x + y = 33x − y = 1

❓Verifica se sabes

✅ Verificar soluções de um sistema

📖Como verificar

Para verificar se um par ordenado (x, y) é solução de um sistema, substitui os valores nas duas equações e verifica se as igualdades são ambas verdadeiras.

Exemplo: Verifica se (2, 0) é solução de:

−x + 2y = −2x + y = 2

Eq. 1: −2 + 2 × 0 = −2 + 0 = −2 ✓

Eq. 2: 2 + 0 = 2 ✓

✅ (2, 0) é solução do sistema. C.S. = {(2, 0)}

🎛️Verificador interativo

Escolhe um sistema, introduz um par ordenado e clica em Verificar.

① −x + 2y = −2 x + y = 2

② 2x + y = 5 x − y = 1

③ x + 2y = 4 3x − y = 5

x =

y =

❓Verifica se sabes

📈 Método gráfico

📖Ideia fundamental

Cada equação do 1.º grau com duas incógnitas representa uma reta no plano. Resolver um sistema graficamente é encontrar o ponto de interseção das duas retas — esse ponto é a solução que satisfaz ambas as equações em simultâneo.

💡 Para traçar uma reta, precisamos de pelo menos dois pontos. A escolha mais prática é calcular o ponto em que a reta corta o eixo y (fazer x = 0) e o ponto em que corta o eixo x (fazer y = 0).

🔑Da equação à forma reduzida: y = kx + b

Antes de traçar, convém converter cada equação na forma y = kx + b, onde:

Declive
Indica a inclinação da reta.
k > 0 → crescente
k < 0 → decrescente
|k| grande → mais inclinada

Ordenada na origem
Ponto onde a reta corta o eixo y.
(0, b) pertence sempre à reta.

Exemplo de conversão (cadeia de equivalências):

Eq. 1: −x + 2y = −2 ⟺ 2y = x − 2 ⟺ y = 12x − 1 k = 12, b = −1

Eq. 2: x + y = 2 ⟺ y = −x + 2 k = −1, b = 2

⚠️ Os declives são diferentes (12 ≠ −1), portanto as retas são concorrentes → sistema possível determinado.
Recorda: k = 12 na 1.ª reta e k = −1 na 2.ª reta.

📋Tabela de pontos e traçado

Calcula dois pontos para cada reta, usando a forma y = kx + b:

Reta	x = 0	x = 2	x = 4
y = ½x − 1	−1	0 ✓	1
y = −x + 2	2	0 ✓	−2

Ambas passam por (2, 0) → ponto de interseção = (2, 0)

y = ½x − 1 y = −x + 2 Solução (2, 0)

C.S. = {(2, 0)}

⚠️Limitação do método gráfico

❌ O método gráfico pode ser impreciso quando a solução não tem coordenadas inteiras — por exemplo, (32, 54). Nestes casos, usa o método de substituição para obter um resultado exato.

✅ O método gráfico é muito útil para verificar visualmente a classificação do sistema e para compreender o significado geométrico da solução.

❓Verifica se sabes

🔄 Método de substituição

📖O algoritmo – 5 passos

O método de substituição é o método de eleição para rigor algébrico: permite encontrar soluções exatas, incluindo frações, que o método gráfico não revela com precisão.

1.º passo – Escolha estratégica: Identificar a incógnita com coeficiente 1 ou −1 — é o caminho de menor resistência, pois evita frações.

2.º passo – Isolamento: Resolver essa equação em ordem a essa incógnita (usar ⟺).

3.º passo – Substituição: Inserir a expressão obtida na outra equação, sempre com parênteses.

4.º passo – Resolução: Resolver a equação resultante (agora com uma só incógnita).

5.º passo – Cálculo final e verificação: Substituir o valor encontrado, calcular a segunda incógnita e verificar nas duas equações originais.

🎯 Regra de ouro: Perder a chaveta durante o cálculo é perder uma restrição. Mantém sempre o sistema visível em cada linha.

📝Exemplo 1 – coeficiente 1 (caso direto)

Resolve pelo método de substituição:

−x + 2y = −2 x + y = 2

💡 Estratégia: O coeficiente de x na 2.ª equação é 1 — vou isolar y nessa equação para evitar frações.

1.º – Isolar y na eq. 2:
x + y = 2 ⟺ y = 2 − x

2.º – Substituir na eq. 1 (com parênteses!):
−x + 2(2 − x) = −2

3.º – Desenvolver e resolver:
−x + 4 − 2x = −2 ⟺ −3x = −6 ⟺ x = 2

4.º – Calcular y:
y = 2 − x = 2 − 2 = 0

5.º – Verificar nas equações originais:
Eq. 1: −2 + 2×0 = −2 ✓
Eq. 2: 2 + 0 = 2 ✓

C.S. = {(2, 0)}

📝Exemplo 2 – coeficiente diferente de 1 (com fração)

Resolve pelo método de substituição:

2x + 3y = 7 x − 2y = 0

💡 Estratégia: Na 2.ª equação, o coeficiente de x é 1 — isolo x nessa equação.

1.º – Isolar x na eq. 2:
x − 2y = 0 ⟺ x = 2y

2.º – Substituir na eq. 1:
2(2y) + 3y = 7 ⟺ 4y + 3y = 7 ⟺ 7y = 7 ⟺ y = 1

3.º – Calcular x:
x = 2y = 2 × 1 = 2

4.º – Verificar:
Eq. 1: 2×2 + 3×1 = 4 + 3 = 7 ✓
Eq. 2: 2 − 2×1 = 0 ✓

C.S. = {(2, 1)}

⚠️Erros frequentes – aprende com os enganos comuns

❌ Esquecer os parênteses: Escrever −x + 2×2 − x em vez de −x + 2×(2 − x) — ao não usar parênteses, a propriedade distributiva não é aplicada correctamente e o resultado fica errado.

❌ Trocar o sinal: Ao passar um termo para o outro membro, o sinal inverte-se sempre.

❌ Substituir na mesma equação: A expressão isolada deve ser substituída na outra equação — nunca na mesma.

❌ Não verificar: Calcular (x, y) mas não confirmar nas duas equações originais — a verificação pode revelar erros de cálculo.

🎛️Simulador passo a passo

Escolhe um sistema e segue os passos com a cadeia de equivalências:

A−x + 2y = −2x + y = 2

B2x + y = 5x − y = 1

C3x − y = 4x + 2y = 6

❓Verifica se sabes

🏷️ Classificação de sistemas

📖Três tipos de sistemas

✅ Possível determinado
Retas concorrentes
Uma única solução.
C.S. = {(x₀, y₀)}

❌ Impossível
Retas paralelas
Nenhuma solução.
C.S. = ∅

♾️ Possível indeterminado
Retas coincidentes
Infinitas soluções.
C.S. tem infinitos elementos

📊Interpretação gráfica

📝Síntese – Como classificar pelo método de substituição

Se obtiveres incógnita = valor (ex: x = 3) → Sistema possível determinado

Se obtiveres 0 = 0 (igualdade sempre verdadeira) → Sistema possível indeterminado

Se obtiveres 0 = k com k ≠ 0 (igualdade impossível) → Sistema impossível

❓Verifica se sabes

🧩 Problemas com sistemas

📖Protocolo de resolução

O sucesso na resolução de problemas reside 80% na modelação e 20% no cálculo. A arte está em converter linguagem natural em equações.

1.º passo: Ler e compreender o enunciado. Identificar o que se pede.

2.º passo: Definir as incógnitas com unidades claras (ex: x = n.º de bilhetes de adulto).

3.º passo: Traduzir cada condição do enunciado numa equação → escrever o sistema.

4.º passo: Resolver pelo método de substituição.

5.º passo: Verificar no enunciado original (não apenas nas equações) e responder com unidades.

🔤Dicionário: linguagem natural → equação

Expressão em linguagem natural	Expressão algébrica
A soma de dois números	x + y
A diferença entre x e y	x − y
O dobro de um número	2x
O triplo de um número	3x
A metade de um valor	x2
y é cinco unidades mais do que x	y = x + 5
Um número com o seu dobro	x + 2x = 3x
Há 5 anos, a idade de x era…	x − 5 (⚠️ subtrair a ambas as idades!)
n.º de moedas de 50 cênt. e 20 cênt.	x + y = total moedas \| 0,50x + 0,20y = valor €

⚠️ Armadilha da diferença: "A diferença entre y e x" é y − x, não x − y. A ordem importa! Usa parênteses com expressões compostas.

💡Problema 1 – Bilhetes (quantidade + valor)

Uma escola comprou 30 bilhetes para uma visita de estudo. Os bilhetes de adulto custam 8 € e os de criança 5 €. No total foram gastos 189 €. Quantos bilhetes de cada tipo foram comprados?

Incógnitas: x = n.º de bilhetes adulto · y = n.º de bilhetes criança

Sistema:
x + y = 30 (quantidade)8x + 5y = 189 (valor €)

Resolução pelo método de substituição:

x + y = 308x + 5y = 189 ⟺ y = 30 − x8x + 5(30 − x) = 189 ⟺ y = 30 − x3x = 39 ⟺ x = 13y = 17

Desenvolvimento da 2.ª equação após substituição:
8x + 5(30 − x) = 189 ⟺ 8x + 150 − 5x = 189 ⟺ 3x = 39 ⟺ x = 13
y = 30 − 13 = 17

Verificação no enunciado: 13 + 17 = 30 ✓ · 13×8 + 17×5 = 104 + 85 = 189 € ✓

Conjunto-solução: S = {(13, 17)}

Resposta: Foram comprados 13 bilhetes de adulto e 17 de criança.

💡Problema 2 – Cinema (estilo Prova de Aferição)

Um grupo de 10 amigos foi ao cinema. O bilhete de estudante custa 5 € e o normal 7 €. Pagaram no total 56 €. Quantos estudantes foram?

Incógnitas: x = n.º de estudantes · y = n.º de bilhetes normais

Sistema:
x + y = 105x + 7y = 56

💡 Estratégia: Coeficiente de x na 1.ª eq. é 1. Isolo x ⟺ x = 10 − y. Substituo com parênteses na 2.ª eq.

Resolução pelo método de substituição:

x + y = 105x + 7y = 56 ⟺ x = 10 − y5(10 − y) + 7y = 56 ⟺ x = 10 − y2y = 6 ⟺ x = 7y = 3

Desenvolvimento da 2.ª equação após substituição:
5(10 − y) + 7y = 56 ⟺ 50 − 5y + 7y = 56 ⟺ 2y = 6 ⟺ y = 3
x = 10 − 3 = 7

Verificação: 7 + 3 = 10 ✓ · 7×5 + 3×7 = 35 + 21 = 56 € ✓

Conjunto-solução: S = {(7, 3)}

Resposta: Foram 7 estudantes.

💡Problema 3 – Idades (armadilha do tempo)

A soma das idades de Ana e Rui é 28 anos. Ana tem mais 4 anos do que Rui. Quais são as suas idades?

Sistema:
a + r = 28a − r = 4

Resolução pelo método de substituição:

a + r = 28a − r = 4 ⟺ (r + 4) + r = 28a = r + 4 ⟺ r = 12a = r + 4 ⟺ r = 12a = 16

Verificação: 16 + 12 = 28 ✓ · 16 − 12 = 4 ✓

Conjunto-solução: S = {(16, 12)}

Resposta: Ana tem 16 anos e Rui tem 12 anos.

⚠️ Armadilha do tempo: Se o enunciado dissesse "há 5 anos a soma era 18", as expressões seriam (a − 5) + (r − 5) = 18 — subtrair 5 a ambas as incógnitas!

💡Problema 4 – Moedas (duas equações, dois tipos)

Uma pessoa tem 15 moedas de 50 cêntimos e 20 cêntimos. No total as moedas valem 5,10 €. Quantas moedas de cada tipo tem?

Incógnitas: x = n.º de moedas de 50 cênt. · y = n.º de moedas de 20 cênt.

Sistema:
x + y = 15 (quantidade)0,5x + 0,2y = 5,10 (valor €)

Resolução pelo método de substituição:

x + y = 150,5x + 0,2y = 5,10 ⟺ x = 15 − y0,5(15 − y) + 0,2y = 5,10 ⟺ x = 15 − y−0,3y = −2,4 ⟺ x = 7y = 8

Verificação: 7 + 8 = 15 ✓ · 7×0,5 + 8×0,2 = 3,50 + 1,60 = 5,10 € ✓

Conjunto-solução: S = {(7, 8)}

Resposta: 7 moedas de 50 cênt. e 8 moedas de 20 cênt.

✏️Verifica se sabes – Questão 1: Modelação

Problema: Numa loja, 2 camisolas e 3 calças custam 130 €. 1 camisola e 2 calças custam 80 €.
Sendo c o preço de uma camisola (€) e p o preço de uma calça (€), escreve o sistema que traduz este problema.

🎛️ Simuladores interativos

🎛️Simulador gráfico – altera os coeficientes

a₁ (coef. x – eq.1)

b₁ (coef. y – eq.1)

c₁ (term. ind. – eq.1)

a₂ (coef. x – eq.2)

b₂ (coef. y – eq.2)

c₂ (term. ind. – eq.2)

🔄Simulador de substituição

Seleciona um sistema e clica em "Próximo passo" para acompanhar a resolução:

A−x + 2y = −2x + y = 2

B2x + y = 5x − y = 1

C3x − y = 4x + 2y = 6

🧠 Verifica se sabes – Quiz geral

🧠Quiz completo – 10 questões

📝 Exercícios estilo Prova de Aferição

📝Questão estilo Prova de Aferição – 1

Contexto: Numa papelaria, um caderno e duas canetas custam 4,50 €. Dois cadernos e uma caneta custam 6,00 €.

📝Questão estilo Prova de Aferição – 2

Contexto: Um ginásio cobra uma mensalidade fixa mais um valor por aula frequentada. Com 3 aulas pagou 25 € e com 7 aulas pagou 41 €.

📝Questão estilo Prova de Aferição – 3

Contexto: Considera o sistema:

kx + 2y = 43x + 6y = 12

📊 Resultados e progresso

🏆O teu progresso

Respostas dadas

Corretas

Taxa de sucesso

Pontos

📈Desempenho por módulo

👉 O caminho para o sucesso faz-se caminhando passo a passo!

📄 Relatório pedagógico

📄Relatório automático

☑️ Checklist de aprendizagem

☑️Marca o teu estado de aprendizagem

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Pedro Eanes Lobato